O caráter recursivo do cálculo das iterações de um modelo discreto faz com que esta seja uma tarefa bastante simples para planilhas eletrônicas. Vamos exemplificar o procedimento para o modelo logístico discreto (1) para o valor do parâmetro r = 0, 5:
Considerando a condição inicial 
, por exemplo, vamos computar a sequência das quinze primeiras iterações do modelo discreto. Colocamos o valor de 
(0, 5), na célula C1, e o valor de 
(0, 1), na célula B1. A fórmula matemática do modelo discreto, Eq. (2), é escrita simbolicamente na célula B2 como
onde o símbolo $C$1 indica o endereço absoluto da variável (a planilha sempre buscará o valor de 
na célula C1). Já B1 é um endereço relativo. O número na célula B1 é copiado na área de transferência. O valor armazenado na área de transferência é copiado quatorze (= 16 − 2) vezes para baixo, o que pode ser feito com o mouse copiando a célula e colando em bloco. O resultado é o conjunto das quinze primeiras iterações do modelo discreto na segunda coluna (a primeira coluna lista os tempos t = 0, 1, 2, . . .), e que podem ser mostradas em um gráfico 
“versus” t usando-se os recursos gráficos específicos da planilha (Fig. 2)
A operação de colar em bloco faz cada célula referenciar a célula anterior, que é justamente o princípio de recorrência envolvido na iteraçãoo de um modelo discreto. Por exemplo, se deslocarmos o cursor (usando o mouse) para a célula B3, onde encontra-se o valor da segunda iteração
, vemos a seguinte operação simbólica: =$C1$*B1*(1-B1), e assim por diante, até o último valor de t.
O nome “logístico” para o modelo discreto (1) vem do fato deste ser uma versão discreta do modelo logístico de Verhulst para o crescimento populacional.
Consideremos x_t como a população de um determinado grupo. A suposição, feita inicialmente por Malthus, de que o crescimento dessa população deva ser exponencial, leva a um modelo discreto linear: x_t = γx_t−1, onde t = 0, 1, 2 . . . indica as sucessivas gerações populacionais, e γ > 1 representa a sua taxa líquida de crescimento (ou seja, a taxa de natalidade menos a taxa de mortalidade). Em cada instante de tempo a população é x_t = γ_tx_0, o que rapidamente leva a populações muito grandes.
É comum, em aplicações econômicas, descrever o crescimento exponencial de uma certa variável discreta v_t como v_0(1 + g)_t, onde 0 <> é uma taxa de crescimento, e v_0 é um valor inicial. Supondo, agora, que a taxa de crescimento seja limitada pelo aumento da população, a taxa líquida de crescimento não será mais constante, porém diminuirá com o aumento da população.
Nenhum comentário:
Postar um comentário